Однако же, я думала, что только узконаправленным философам математики понятия актуальной и потенциальной бесконечности так интересны и занимательны.
Ан нет, об этом, оказывается, люди говорят. То есть говорили в 2006 году. Немного опоздала я с прочтением этой записи «0,(9) = 1» в блоге Ильи Бирмана, и комментарии к ней уже закрыты. Но все равно хочется сказать пару слов, поэтому буду обращаться к широкой публике, так сказать, со своей трибуны.
Спор идет, собственно, о таком тезисе:
0.(9) = 1
То есть это фактически одно и то же число, просто разная его запись.
Так вот, оставим немного в стороне чисто математические доказательства и агрументы, сводящиеся в целом к тому, что эта сущность 0.(9) ведет себя так же, как и единица. Эти математические соображения неплохо освещены у автора статьи, с которой это обсуждение началось, а еще об этом можно почитать Википедию. Конечно, я не имею ввиду всю историю данной проблемы, идущую из начала 20 века или даже ранее, а говорю о текущем витке такой ленивой и распределенной дискуссии.
Хочется обратиться к одной фразе Ильи, которая может быть интерпретирована по-разному. И в зависимости от этого, наша философская (или метаматематическая в данном случае) позиция будет различаться.
0,(9) — это не последовательность и не функция, а число. Число не может никуда стремиться, оно стоит себе на месте на числовой прямой и не дёргается.
Вот тут, господа, зарыты собаки. А уверены ли мы, что 0,(9) — это точно число? Что такое число? Что мы можем называть числом, а что — нет? В данном случае используются всего лишь символы. И если вы будете говорить в духе Ильи, что два разных сочетания символов (0,(9) и 1) обозначают абсолютно одно и то же, то пожалуйста, разговор на этом заканчивается.
Но меня одолевает сомнение: как и зачем двумя разными изображениями мы представляем одно и то же? Тут может быть 2 ответа. 1. Либо это не одно и то же. 2. Либо мы стараемся разными изображениями осветить разные свойства одного объекта.
Про второе. Здесь мы можем сказать, что сама по себе единица выражает свою сущность и только. Какова сущность единицы? В том ли она, что это первое натуральное число, или что это нейтральный элемент группы по умножению, или что это монада, означающая вселенское единство… Ха-ха, вон уж до чего докатились. Нет уж, пусть будет она вещью в себе, объективной и поэтому недоступной идеей. Мне вообще иногда кажется, что некоторые абстрактные сущности слишком хороши, чтобы поверить в то, что их придумали люди. Так-то вот за Платоном и увяжешься. 🙂 Но мы сюда пришли не за этим.
Какова же вторая сторона единицы, которая выражается в другой записи: 0,(9)?
Обычные люди для себя это воспринимают примерно как «бесконечное число девяток после запятой». Более детально можно это себе представить как результат бесконечного умножения 0,(3) на 3. Или уж совсем математически как предел последовательности или сумму бесконечного ряда. И все равно, куда ни плюнь, невозможно уйти от слова «бесконечность». Здесь мы подразумеваем процесс. Говоря и записывая «1», мы ничего не создаем. Просто записали один раз какую-то палочку — и все. А вот в случае с бесконечной периодической дробью мы ее просто так получить не можем, мы ее все время конструктивно воссоздаем. Из этих девяточек выстраиваем. Ставим их в ряд одну за другой бесконечное число раз. И вот главный вопрос: когда мы записываем 0,(9), то подразумеваем ли мы, что это бесконечное записывание возможно? Или что оно реально приведет к какому-то пределу? Заканчивается ли когда-нибудь эта бесконечность? Может ли быть бесконечность чем-то законченным то есть конечным?! Вот такие вопросы задавали конструктивисты 20 века и в них искали основания настоящей математики.
Про эту замечательную бесконечность давайте поговорим в следующих сериях, а пока только скажу, что тут снова выходят на первый план и достаточно древние апории Зенона, и вполне современные споры математиков классической школы с интуиционистами.
Продолжение следует.
