Однако же, я думала, что только узконаправленным философам математики понятия актуальной и потенциальной бесконечности так интересны и занимательны.
Ан нет, об этом, оказывается, люди говорят. То есть говорили в 2006 году. Немного опоздала я с прочтением этой записи «0,(9) = 1» в блоге Ильи Бирмана, и комментарии к ней уже закрыты. Но все равно хочется сказать пару слов, поэтому буду обращаться к широкой публике, так сказать, со своей трибуны.
Спор идет, собственно, о таком тезисе:
0.(9) = 1
То есть это фактически одно и то же число, просто разная его запись.
Так вот, оставим немного в стороне чисто математические доказательства и агрументы, сводящиеся в целом к тому, что эта сущность 0.(9) ведет себя так же, как и единица. Эти математические соображения неплохо освещены у автора статьи, с которой это обсуждение началось, а еще об этом можно почитать Википедию. Конечно, я не имею ввиду всю историю данной проблемы, идущую из начала 20 века или даже ранее, а говорю о текущем витке такой ленивой и распределенной дискуссии.
Хочется обратиться к одной фразе Ильи, которая может быть интерпретирована по-разному. И в зависимости от этого, наша философская (или метаматематическая в данном случае) позиция будет различаться.
0,(9) — это не последовательность и не функция, а число. Число не может никуда стремиться, оно стоит себе на месте на числовой прямой и не дёргается.
Вот тут, господа, зарыты собаки. А уверены ли мы, что 0,(9) — это точно число? Что такое число? Что мы можем называть числом, а что — нет? В данном случае используются всего лишь символы. И если вы будете говорить в духе Ильи, что два разных сочетания символов (0,(9) и 1) обозначают абсолютно одно и то же, то пожалуйста, разговор на этом заканчивается.
Но меня одолевает сомнение: как и зачем двумя разными изображениями мы представляем одно и то же? Тут может быть 2 ответа. 1. Либо это не одно и то же. 2. Либо мы стараемся разными изображениями осветить разные свойства одного объекта.
Про второе. Здесь мы можем сказать, что сама по себе единица выражает свою сущность и только. Какова сущность единицы? В том ли она, что это первое натуральное число, или что это нейтральный элемент группы по умножению, или что это монада, означающая вселенское единство… Ха-ха, вон уж до чего докатились. Нет уж, пусть будет она вещью в себе, объективной и поэтому недоступной идеей. Мне вообще иногда кажется, что некоторые абстрактные сущности слишком хороши, чтобы поверить в то, что их придумали люди. Так-то вот за Платоном и увяжешься. 🙂 Но мы сюда пришли не за этим.
Какова же вторая сторона единицы, которая выражается в другой записи: 0,(9)?
Обычные люди для себя это воспринимают примерно как «бесконечное число девяток после запятой». Более детально можно это себе представить как результат бесконечного умножения 0,(3) на 3. Или уж совсем математически как предел последовательности или сумму бесконечного ряда. И все равно, куда ни плюнь, невозможно уйти от слова «бесконечность». Здесь мы подразумеваем процесс. Говоря и записывая «1», мы ничего не создаем. Просто записали один раз какую-то палочку — и все. А вот в случае с бесконечной периодической дробью мы ее просто так получить не можем, мы ее все время конструктивно воссоздаем. Из этих девяточек выстраиваем. Ставим их в ряд одну за другой бесконечное число раз. И вот главный вопрос: когда мы записываем 0,(9), то подразумеваем ли мы, что это бесконечное записывание возможно? Или что оно реально приведет к какому-то пределу? Заканчивается ли когда-нибудь эта бесконечность? Может ли быть бесконечность чем-то законченным то есть конечным?! Вот такие вопросы задавали конструктивисты 20 века и в них искали основания настоящей математики.
Про эту замечательную бесконечность давайте поговорим в следующих сериях, а пока только скажу, что тут снова выходят на первый план и достаточно древние апории Зенона, и вполне современные споры математиков классической школы с интуиционистами.
Продолжение следует.
Вы затронули очень интересную тему! И очень интересно читать! Я сам загорелся чтото доказать хотя бы себе) Я думаю число-это какоето количество и цифра это то что стоит на прямой и никуда не дёргается а а значит эта цифра обеспечивается каким то количество число чегото-например шагов пройденных до этой отметки. Может я пишу бред и этого ещё не осознал, но написал то, что выдаёт моё сознание в данный момент, срого не судите.
мне сложно себе представить “дёргания” числа 0.(9) на числовой прямой. впрочем, как и само число 0.(9).
а виной всему понятие бесконечности. людям сложно представить то, что они не могут увидеть, потрогать..
однако, как математик (ну, надеюсь) я считаю, что это разные числа. принятую теорию матанализа никто не отменял 🙂
и вообще, тут имеет место быть чистейший частный случай. такую же дискуссию можно вести о любой паре {натеральное число, ближайшая к нему действительная дробь}
😉
всё, всё, ушел.
я этого не понимал никогда
Как это Вы скромно сказали, MAST, что надеетесь, что Вы математик. 🙂
Я согласна, что вопрос одинаков по поводу любой пары чисел. То есть и 0,(3) с 1/3 находятся в таком же положении.
Лично для меня число с периодом представляется как последовательность: 0,3; 0,33; 0,333 и так далее. Тут сама запись располагает к такому толкованию. Бесконечность предполагает нечто движущееся, не статическое. И хотя я могу себя убедить, что числа 0,(3) и 1/3 абсолютно тождественны, все же первое мне всегда мыслится не как просто число, а как последовательность, сходящаяся ко второму. Но это, конечно, субъективно.
Написано очень расплывчато, толком ничего не понял ((
Интересный пост. Спасибо. Получил на ночь “взлом” мозга…
Может для начала аксиоматически определить что есть “десятичная дробь” – и все станет на свои места? Если ее определить как упрощенную интерпретацию результата деления простой дроби, то получается что при бесконечном процессе ( деления ) результат формируется бесконечно во времени. Единица уже сформирована изначально или время ее формирования бесконечно мало 🙂
Кстати, интересно, определить время – как результат обратного действия…
В общем, как всегда, бред 🙂
0.(9) это всего лишь приближение к 1, и не более того для любого конечного числа знаков все понятно, но так как мы рассматриваем запись(зачистую необходимую конечному вычислителю – человеку) который хочет того или ен действует задавшись наперед некоторой точностью, то мы получим определёное количество знаков которое естественно будет < 1.
откровенно говоря, тут с математической точки зрения практически все правильно, но сама статья мне воспринимается более как философский анализ, хотя и ето тоже мне по душе так как сам я философ и математик. (все гениальные математики в первую очередь философы)
> И вот главный вопрос: когда мы записываем 0,(9), то подразумеваем ли мы, что это бесконечное записывание возможно? Или что оно реально приведет к какому-то пределу? Заканчивается ли когда-нибудь эта бесконечность? Может ли быть бесконечность чем-то законченным то есть конечным?!
0.(9) это такой же способ “упаковать” бесконечность в значок, как и sum_{i=1}^infinity …
Конечно, может быть я слишком увлекаюсь алгеброй, но для меня обе эти формы записи неразличимы, так как представляют одно и то же. Собственно, как и sum_{i=1}^infinity frac{9}{10^i}. Но единица в виде “1” удобнее тем, что экономит чернила 🙂 и легко вычленяется взглядом.
Привет, Кать!
Я недавно столкнулся с подобной проблемой, изучая класс Random в C#. У объекта этого класса есть функция NextDouble(), которая возвращает число >=0, но <1.
Меня интересовало, какое условие надо поставить при сравнении такого случайного числа с заданной через double вероятностью (от 0 до 1), чтобы узнать, выпало ли событие.
Если вероятность равна 1, то при любом сгенерированном числе выражение должно быть верным. Поэтому надо ставить строгий знак <. То есть result = _random.NextDouble() < _probability.
Это же сработает правильно, если задать вероятность 0.
И я не вижу никаких причин не написать верное неравенство 0,(9) < 1. Потому что для любого числа девяток после запятой неравенство выполнится.
А вот сумма по n от 1 до бесконечности 9/(10 в степени n) равна 1.
А вот интересно с нулём. Помнится, на лекциях нам говорили, что событие с нулевой вероятностью – это не значит, что это событие, которое никогда не происходит. Что оно всё-таки может произойти. Поэтому не следует ли при желании изобразить событие с нулевой вероятностью как именно random.NextDouble() <= _probability, чтобы оно иногда, хоть и очень-очень-очень редко (понятно, что этот случайный генератор будет выдавать 0 чрезвычайно редко), именно с нулевой вероятностью, но случалось?
Честно говоря, Кать, не знаю. А событие с вероятностью 1, получается, тоже иногда может не произойти? 🙂
С математической точки зрения событие с нулевой вероятностью, вроде как, может случиться (да, на лекциях был такой факт), но с точки зрения программирования дело обстоит иначе.
Отрицательной вероятности нет. Минимальное возможное значение для заданной вероятности (как параметр функции, например) – 0. Программисту обязательно нужно, чтобы было такое значение заданной вероятности, при котором событие не произойдет никогда. Поэтому для компьютеров подходит именно описанный мной случай.
А уж теоретики – пускай получают события с нулевой вероятностью.
Да, Петя, ты, пожалуй, прав. Согласна, что для програмииста нужнее именно такой случай, когда событие с нулевой вероятностью вообще никогда не произойдёт, значит имеет смысл использовать такое строгое неравенство.